现代控制理论与方法预习一

状态空间的基本概念

• 状态：动力学系统中信息的集合。且在已知未来外部输入的情况下，这些信息对于确定系统未来的行为是充分必要条件。
• 状态变量：确定动力学系统状态最小的一组变量。（不一定唯一）
• 状态向量：一组状态变量组成的向量。
• 状态空间：各个状态变量作为坐标轴所组成的n维空间，状态向量是其中一个点。

系统的状态空间表达式

单输入-单输出且输入量不含导数项的线性定常系统

选取作为状态变量，则状态方程： 其中 输出方程： 其中

p输入-q输出n阶线性系统

状态方程： 其中 同理，输出方程： 当与无关时，就是线性定常系统

线性定常系统状态方程的解

齐次状态方程的解

纯量微分方程的解

纯量方程： 设方程的解为： 代入原式，并且对任意都满足，所以：

所以最终解为：

齐次向量微分方程： 同理可得： 记作:

这里也可以用拉氏变换法求解

取拉氏变换得： 可得： 假设: 可验证： 假设成立，所以拉氏变换

最终结果跟前文相同

我们记,称为状态转移矩阵

当从开始状态转移，我们可记作

对于状态转移矩阵，它有以下性质：

• 是微分方程的唯一解